Hanqing Li Hanqing Li 李汉青

Probability theory

Measure-theoretic foundations

1. Probability spaces
2. Measures, extension, and monotone classes
3. Random variables and distributions
4. Product spaces, independence, and Fubini-Tonelli
5. Lebesgue integration and expectation
6. Moments, kurtosis, and tail behavior
7. Lp spaces, inequalities, and uniform integrability
8. Radon-Nikodym derivatives, densities, and change of measure
9. Conditional probability and regular conditional distributions
10. Conditional expectation

Convergence and classical limit theory

11. Modes of convergence
12. Weak convergence and tightness
13. Characteristic functions
14. Weak law of large numbers
15. Borel-Cantelli lemmas and zero-one laws
16. Strong law of large numbers
17. Triangular arrays and truncation methods
18. Central limit theorems
19. Berry-Esseen and rates of convergence
20. Poisson convergence and Poisson processes
21. Stable and infinitely divisible laws

Martingales

22. Filtrations, adapted processes, and stopping times
23. Discrete-time martingales and submartingales
24. Doob inequalities and martingale convergence
25. Optional stopping and optional sampling
26. Uniform integrability and L1/Lp martingale convergence
27. Square-integrable martingales and quadratic variation
28. Martingale CLT and applications

Stochastic processes

29. Kolmogorov extension theorem
30. Path spaces and finite-dimensional distributions
31. Markov chains and transition kernels
32. Markov processes and semigroups
33. Recurrence, transience, and invariant measures
34. Ergodic theorems
35. Renewal theory and basic random walks

Brownian motion

36. Gaussian vectors and Gaussian processes
37. Construction of Brownian motion
38. Brownian path properties
39. Reflection principle and hitting times
40. Strong Markov property of Brownian motion
41. Brownian martingales
42. Donsker theorem and Brownian bridge
43. Multidimensional Brownian motion
44. Brownian motion and PDEs

Stochastic calculus

45. Continuous-time martingales and local martingales
46. Quadratic variation and covariation
47. Semimartingales
48. Stochastic integration with respect to Brownian motion
49. Stochastic integration with respect to semimartingales
50. Itô formula
51. Applications of Itô formula
52. Girsanov theorem and change of measure
53. Stochastic differential equations
54. Local time and Tanaka formula
55. White noise and stochastic heat equation

Théorie des probabilités

Fondements mesure-théoriques

1. Espaces de probabilité
2. Mesures, extension et classes monotones
3. Variables aléatoires et lois
4. Espaces produits, indépendance et Fubini-Tonelli
5. Intégration de Lebesgue et espérance
6. Moments, kurtose et comportement des queues
7. Espaces Lp, inégalités et intégrabilité uniforme
8. Dérivées de Radon-Nikodym, densités et changement de mesure
9. Probabilité conditionnelle et lois conditionnelles régulières
10. Espérance conditionnelle

Convergence et théorie classique des limites

11. Modes de convergence
12. Convergence faible et tension
13. Fonctions caractéristiques
14. Loi faible des grands nombres
15. Lemmes de Borel-Cantelli et lois zéro-un
16. Loi forte des grands nombres
17. Tableaux triangulaires et méthodes de troncature
18. Théorèmes centraux limites
19. Berry-Esseen et vitesses de convergence
20. Convergence de Poisson et processus de Poisson
21. Lois stables et infiniment divisibles

Martingales

22. Filtrations, processus adaptés et temps d’arrêt
23. Martingales et sous-martingales en temps discret
24. Inégalités de Doob et convergence des martingales
25. Arrêt optionnel et échantillonnage optionnel
26. Intégrabilité uniforme et convergence L1/Lp des martingales
27. Martingales de carré intégrable et variation quadratique
28. TCL pour martingales et applications

Processus stochastiques

29. Théorème d’extension de Kolmogorov
30. Espaces de trajectoires et lois fini-dimensionnelles
31. Chaînes de Markov et noyaux de transition
32. Processus de Markov et semi-groupes
33. Récurrence, transience et mesures invariantes
34. Théorèmes ergodiques
35. Théorie du renouvellement et marches aléatoires de base

Mouvement brownien

36. Vecteurs gaussiens et processus gaussiens
37. Construction du mouvement brownien
38. Propriétés des trajectoires browniennes
39. Principe de réflexion et temps d’atteinte
40. Propriété forte de Markov du mouvement brownien
41. Martingales browniennes
42. Théorème de Donsker et pont brownien
43. Mouvement brownien multidimensionnel
44. Mouvement brownien et EDP

Calcul stochastique

45. Martingales en temps continu et martingales locales
46. Variation quadratique et covariation
47. Semi-martingales
48. Intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien
49. Intégrale stochastique par rapport aux semi-martingales
50. Formule d’Itô
51. Applications de la formule d’Itô
52. Théorème de Girsanov et changement de mesure
53. Équations différentielles stochastiques
54. Temps local et formule de Tanaka
55. Bruit blanc et équation de la chaleur stochastique

概率论

测度论基础

1. 概率空间
2. 测度、扩张与单调类
3. 随机变量与分布
4. 乘积空间、独立性与富比尼-托内利定理
5. 勒贝格积分与期望
6. 矩、峰度与尾部行为
7. Lp 空间、不等式与一致可积性
8. 拉东-尼科迪姆导数、密度与测度变换
9. 条件概率与正则条件分布
10. 条件期望

收敛与经典极限定理

11. 收敛方式
12. 弱收敛与紧性
13. 特征函数
14. 弱大数定律
15. 博雷尔-坎泰利引理与零一律
16. 强大数定律
17. 三角阵列与截断方法
18. 中心极限定理
19. Berry-Esseen 定理与收敛速度
20. 泊松收敛与泊松过程
21. 稳定分布与无限可分分布

鞅

22. 滤过、适应过程与停时
23. 离散时间鞅与下鞅
24. 杜布不等式与鞅收敛
25. 可选停止与可选抽样
26. 一致可积性与 L1/Lp 鞅收敛
27. 平方可积鞅与二次变差
28. 鞅中心极限定理及应用

随机过程

29. 柯尔莫哥洛夫扩张定理
30. 路径空间与有限维分布
31. 马尔可夫链与转移核
32. 马尔可夫过程与半群
33. 常返、暂留与不变测度
34. 遍历定理
35. 更新理论与基本随机游走

布朗运动

36. 高斯向量与高斯过程
37. 布朗运动的构造
38. 布朗路径性质
39. 反射原理与击中时
40. 布朗运动的强马尔可夫性
41. 布朗鞅
42. 唐斯克定理与布朗桥
43. 多维布朗运动
44. 布朗运动与 PDE

随机微积分

45. 连续时间鞅与局部鞅
46. 二次变差与协变差
47. 半鞅
48. 关于布朗运动的随机积分
49. 关于半鞅的随机积分
50. 伊藤公式
51. 伊藤公式的应用
52. 吉尔萨诺夫定理与测度变换
53. 随机微分方程
54. 局部时与田中公式
55. 白噪声与随机热方程