Real analysis
Construction of the real line and completeness
Sequences, metric spaces, and compactness
- Sequences, subsequences, and asymptotic notation
- Series, absolute convergence, and rearrangements
- Metric spaces, compactness, and total boundedness
- Complete metric spaces and Baire category
- Connectedness, intervals, and components
- Continuity, uniform continuity, and compact domains
- Semicontinuity and variational arguments
- Sequences of functions and uniform convergence
- Equicontinuity and Arzel?-Ascoli theorem
Real-variable calculus and classical integration
- Differentiability and Taylor expansion
- Mean value theorems and consequences
- Convex functions and monotone functions
- Riemann and Darboux integration
- Riemann-Stieltjes integration
- Bounded variation and absolute continuity
- Fundamental theorem of calculus and change of variables
- Power series on the real line
- Multivariable differentiation and total derivatives
- Inverse and implicit function theorems
Measure theory and Lebesgue integration
- Sigma-algebras and measures
- Outer measures and Lebesgue measure
- Borel and Radon measures on metric spaces
- Measurable functions and convergence in measure
- Lebesgue integral
- Monotone, Fatou, and dominated convergence
- Product measures and Fubini theorem
- Signed and complex measures
- Radon-Nikodym derivatives
- Lebesgue decomposition and singularity
- Distribution functions and Lebesgue-Stieltjes measures
- Lebesgue differentiation theorem
- Differentiation of measures and density theorems
Function spaces, approximation, and Fourier analysis
- Modes of convergence for functions
- Uniform integrability and Vitali convergence
- L^p spaces and completeness
- Inequalities in L^p spaces
- L^p duality and weak convergence
- Egorov, Lusin, and measurable approximation
- Approximation by simple, continuous, and smooth functions
- Convolution and mollifiers
- Fourier series and orthogonality
- Fourier transform on Euclidean space
Weak convergence and statistical analysis bridges
Analyse réelle
Construction de la droite réelle et complétude
Suites, espaces métriques et compacité
- Suites, sous-suites et notation asymptotique
- Séries, convergence absolue et réarrangements
- Espaces métriques, compacité et précompacité
- Espaces métriques complets et catégorie de Baire
- Connexité, intervalles et composantes
- Continuité, continuité uniforme et domaines compacts
- Semi-continuité et arguments variationnels
- Suites de fonctions et convergence uniforme
- Équicontinuité et théorème d’Arzel?-Ascoli
Calcul réel et intégration classique
- Différentiabilité et développement de Taylor
- Théorèmes des accroissements finis et conséquences
- Fonctions convexes et fonctions monotones
- Intégration de Riemann et de Darboux
- Intégration de Riemann-Stieltjes
- Variation bornée et continuité absolue
- Théorème fondamental de l’analyse et changement de variables
- Séries entières sur la droite réelle
- Différentiation multivariée et différentielles totales
- Théorèmes de la fonction inverse et implicite
Théorie de la mesure et intégration de Lebesgue
- Tribus et mesures
- Mesures extérieures et mesure de Lebesgue
- Mesures boréliennes et de Radon sur les espaces métriques
- Fonctions mesurables et convergence en mesure
- Intégrale de Lebesgue
- Convergences monotone, de Fatou et dominée
- Mesures produit et théorème de Fubini
- Mesures signées et complexes
- Dérivées de Radon-Nikodym
- Décomposition de Lebesgue et singularité
- Fonctions de répartition et mesures de Lebesgue-Stieltjes
- Théorème de différentiation de Lebesgue
- Différentiation des mesures et théorèmes de densité
Espaces de fonctions, approximation et analyse de Fourier
- Modes de convergence des fonctions
- Intégrabilité uniforme et convergence de Vitali
- Espaces L^p et complétude
- Inégalités dans les espaces L^p
- Dualité L^p et convergence faible
- Egorov, Lusin et approximation mesurable
- Approximation par fonctions simples, continues et lisses
- Convolution et régularisation
- Séries de Fourier et orthogonalité
- Transformée de Fourier sur l’espace euclidien