Hanqing Li Hanqing Li 李汉青

Optimal transport

A transport map carrying one probability distribution into another.

Foundations and optimality

  1. Measures, pushforwards, and couplings
  2. The Monge and Kantorovich problems
  3. Existence and stability of optimal plans
  4. Kantorovich duality and optimality certificates
  5. c-convexity and cyclical monotonicity

Explicit transport and transport maps

  1. Discrete transport and assignment problems
  2. One-dimensional transport and monotone rearrangement
  3. Quadratic transport and Brenier's theorem
  4. The Monge--Ampère equation
  5. Regularity of optimal maps and general costs

Wasserstein geometry

  1. Wasserstein distances and the topology of probability measures
  2. Geodesics and displacement interpolation
  3. Absolutely continuous curves and the continuity equation
  4. The Benamou--Brenier formula and tangent geometry
  5. Wasserstein barycenters and Fréchet geometry

Convexity, evolution, and inequalities

  1. Displacement convexity
  2. Wasserstein gradient flows and the JKO scheme
  3. Diffusion and interaction equations
  4. Transport inequalities and concentration

Statistical optimal transport

  1. Empirical measures and Wasserstein convergence
  2. Inference for transport costs, maps, and barycenters
  3. Projection-based transport in high dimensions

Entropic and computational transport

  1. Entropic regularization and Sinkhorn scaling
  2. Sinkhorn divergences and semi-discrete transport
  3. Schrödinger bridges and entropic dynamics

Extensions beyond classical transport

  1. Unbalanced optimal transport
  2. Multi-marginal and martingale transport
  3. Gromov--Wasserstein geometry

Transport optimal

A transport map carrying one probability distribution into another.

Fondements et optimalité

  1. Mesures, images directes et couplages
  2. Les problèmes de Monge et de Kantorovitch
  3. Existence et stabilité des plans optimaux
  4. Dualité de Kantorovitch et certificats d'optimalité
  5. c-convexité et monotonie cyclique

Transport explicite et applications de transport

  1. Transport discret et problèmes d'affectation
  2. Transport unidimensionnel et réarrangement monotone
  3. Transport quadratique et théorème de Brenier
  4. L'équation de Monge--Ampère
  5. Régularité des applications optimales et coûts généraux

Géométrie de Wasserstein

  1. Distances de Wasserstein et topologie des mesures de probabilité
  2. Géodésiques et interpolation par déplacement
  3. Courbes absolument continues et équation de continuité
  4. Formule de Benamou--Brenier et géométrie tangente
  5. Barycentres de Wasserstein et géométrie de Fréchet

Convexité, évolution et inégalités

  1. Convexité par déplacement
  2. Flots de gradient de Wasserstein et schéma JKO
  3. Équations de diffusion et d'interaction
  4. Inégalités de transport et concentration

Transport optimal statistique

  1. Mesures empiriques et convergence de Wasserstein
  2. Inférence pour les coûts, applications et barycentres de transport
  3. Transport par projections en grande dimension

Transport entropique et calcul

  1. Régularisation entropique et équilibrage de Sinkhorn
  2. Divergences de Sinkhorn et transport semi-discret
  3. Ponts de Schrödinger et dynamique entropique

Extensions au-delà du transport classique

  1. Transport optimal non équilibré
  2. Transport multi-marginal et transport martingale
  3. Géométrie de Gromov--Wasserstein

最优传输

A transport map carrying one probability distribution into another.

基础与最优性

  1. 测度、推前与耦合
  2. 蒙日问题与康托罗维奇问题
  3. 最优传输计划的存在性与稳定性
  4. 康托罗维奇对偶与最优性证书
  5. c-凸性与循环单调性

显式传输与传输映射

  1. 离散传输与指派问题
  2. 一维传输与单调重排
  3. 二次传输与布雷尼耶定理
  4. 蒙日--安培方程
  5. 最优映射的正则性与一般代价

瓦瑟斯坦几何

  1. 瓦瑟斯坦距离与概率测度的拓扑
  2. 测地线与位移插值
  3. 绝对连续曲线与连续性方程
  4. 贝纳穆--布雷尼耶公式与切空间几何
  5. 瓦瑟斯坦重心与弗雷歇几何

凸性、演化与不等式

  1. 位移凸性
  2. 瓦瑟斯坦梯度流与 JKO 格式
  3. 扩散方程与相互作用方程
  4. 传输不等式与集中性

统计最优传输

  1. 经验测度与瓦瑟斯坦收敛
  2. 传输代价、传输映射与重心的统计推断
  3. 高维投影型传输

熵传输与计算

  1. 熵正则化与辛克霍恩缩放
  2. 辛克霍恩散度与半离散传输
  3. 薛定谔桥与熵动力学

经典传输之外的扩展

  1. 非平衡最优传输
  2. 多边缘传输与鞅传输
  3. 格罗莫夫--瓦瑟斯坦几何